APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS
LINEALES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
LA INGENIERÍA INDUSTRIAL.
UNIDAD III
SISTEMA LINEAL
· Asignación de recursos, Ordenamiento
Los primeros desarrollos
de la Investigación Operativa se refirieron a problemas de asignación de
recursos, ordenamientos de tareas, reparto de cargas de trabajo, planificación,
todos con un objetivo preciso de optimización de la función económica U en un
mundo determinista. Entre las técnicas de optimización citamos: la Programación
Lineal, No lineal, Los métodos de ordenamiento, Programación Dinámica,
Combinatoria, algoritmos de teoría de Grafos, etc. Un ejemplo clásico:
determinar el número de piezas, de cada tipo, que debe producir un determinado
taller, a fin de obtener el máximo beneficio. Existen varias máquinas, cada una
de las cuales tiene determinadas propiedades y características, según las
categorías o partes de piezas a producir por cada una de ellas; por lo general
se conoce la capacidad máxima del taller y el beneficio que se obtendrá con
cada categoría de pieza producida.
· Líneas de espera, Reemplazo de equipos.
Estos temas se desarrollan
en mundo aleatorio por lo general. Se estudian las esperas y retrasos
ocurridos en el sistema, o las fallas en las instalaciones, su Reparación
y posibles políticas de mantenimiento y/o reemplazo.
· Inventario, Costos y
tiempos.
Se trata de la operación
más simple, la de almacenar y/o mantener recursos; se estudia cuánto y cuándo
adquirir. Muchos casos se resuelven modelándolos como líneas de espera. Existe
una numerosa cantidad de tipos de inventarios, entre los más recurrentes se
cuentan: inventarios finales (se lleva a cabo cada vez que se cierra el período
fiscal, generalmente el 31 de diciembre), inventarios periódicos (se
realiza cada determinado tiempo), inventarios iniciales (se registran todos los
bienes de la empresa), inventarios de liquidación legal, inventario de materias
primas, inventario de seguridad, inventario de gestión, inventario físico,
entre otros.
· Gestión de proyectos.
El conjunto de tareas de
un proyecto se modelan mediante un grafo, sobre el que se determinan cuáles son
los tiempos y las tareas críticas ("cuellos de botellas") del
proyecto. Técnicas usadas: CPM-PERT, método del Camino Crítico. Algunos de
estos problemas, se estudiarán en el curso “Introducción a la Investigación de
Operaciones”.
· Optimización.
Una de las herramientas
más importantes de la optimización es la programación lineal. Un problema de
programación lineal está dado por una función lineal de varias variables que
debe ser optimizada (maximizada o minimizada) cumpliendo con cierto número de
restricciones también lineales. El matemático G.B. Dantzig desarrolló un
algoritmo llamado el método simplex para resolver problemas de este tipo. El
método simplex original ha sido modificado a fin de obtener un algoritmo
eficiente para resolver grandes problemas de programación lineal por
computadora. Por medio de la programación lineal se pueden formular y resolver
problemas de una gran variedad de campos del quehacer humano, entre los que se
puede mencionar: asignación de recursos en la planificación de gobierno,
análisis de redes para planificación urbana y regional, planificación de la
producción en la industria, y la administración de sistemas de transporte y
distribución. Por esto la programación lineal es uno de los éxitos de la
moderna teoría de la optimización. La programación entera está relacionada con
la resolución de problemas de optimización en los cuales al menos algunas de
las variables deben tomar sólo valores enteros. Cuando todos los términos son
lineales se habla de programación lineal entera.
EJEMPLOS
DE APLICACIÓN:
1.-
El dueño de la empresa de Coca-Cola ha comprado más ingredientes para la
elaboración de sus productos, entre ellos aceite de naranja, aceite de limón y
aceite de nuez moscada por un importe total de $500 (sin impuestos). El valor
del aceite de nuez moscada es $60 menos que el del aceite de naranja y del
aceite de limón conjuntamente. Teniendo en cuenta que el aceite de naranja debe
pagar un impuesto del 6%, por el aceite de limón 12% y por el aceite de nuez
moscada 30%, lo que hace que la factura total con impuesto resulte en $592.40.
*Calcular
la cantidad invertida en cada ingrediente comprado.
X: Cantidad de aceite de
naranja
Y: Cantidad de aceite de
limón
Z: Cantidad
de aceite de nuez moscada
X + Y + Z = 500
Z= X + Y – 60
6%X + 12%Y + 30%Z = 92.40
X + Y + Z = 500
X + Y – Z = 60
6X + 12Y +30Z = 9240
A= 1
1 -1
6 12
30
|A|=
1 1 -1
= 12
6
12 30
|A|X = 60
1 -1
= 1440
9240 12
30
|A|Y = 1
60 -1 = 1920
6
9240 30
|A|Z = 1
1 60 = 2640
6
12 9240
X=1440/12= 120
Y=1920/12= 160
2=2640/12= 220
2.- Un departamento de pesca y caza del
estado proporciona 3 tipos de comida a un lago que alberga a 3 especies de
peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de unidad del
alimento, 1 unidad del alimento B y 2
unidades del alimento C. cada pez de la especie 2 consume cada semana un
promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. para un pez de la
especie 3, el promedio semana de consumo es de 2 unidades del alimento A, 1
unidad del alimento B y 5 unidades del C. cada semana se proporciona al lago
25000 unidades de alimento A, 20000
unidades del alimento B y 55000 del C. si suponemos que los peces se comen todo
alimento, ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
Utilizando
reducción de Gauss-Jordan:
X1+3x2+2x3=25000
X1+4x2+x3=20000
2x1+5x2+5x3=50000
Sol:
X1+5x3=
40000
X2-x3=-5000
Por
lo tanto:
X1=
40,000 – 5x3
X2=
x3 – 5,000
5,000≤
x3 ≤ 8,000
3.- suponga que las demandas externas en
un sistema económico con tres industrias son 10,25 y 20, respectivamente.
Suponga que a11=0.2 , a12=0.5, a13=0.15, a21=0.4,
a22=0.1, a23=0.3, a31=0.25, a32=0.5,
a33=0.15. encuentre la producción de cada industria de manera que la
oferta sea exactamente igual a la demanda.
En
este caso n= 3 , 1-a11=0.8, 1-a22=0.9 y 1-a33=0.85
y el sistema es:
0.8x1
– 0.5x2 – 0.15x3 = 10
-0.4x1
+ 0.9x2 – 0.3x3 = 25
-0.25x1
– 0.5x2 + 0.85x3 = 20
Utilizando reducción de Gauss:
X1-0.62x2-0.18x3=12.5
X2-0.56x3=46.15
X3=81.88
Sustitución:
X2=
46.15 + 0.56x3
X2=
46.15 + 0.56 (81.15)
X2=
92.002
X1=12.5
+ 0.62x2 + 0.18x3
X1=12.5
+ 0.62 (92.002) + 0.18 (81.88)
X1=
84.27
resultados:
4.- una empresa tiene 3 minas con
minerales de compociones como se muestra en la siguiente tabla:
|
|
Níquel
|
cobre
|
Hierro
|
|
Mina A
|
1
|
2
|
3
|
|
Mina B
|
2
|
5
|
7
|
|
Mina C
|
1
|
3
|
1
|
Cuantas toneladas de
cada mina, deben utilizarse para obtener 7 de níquel, 18 de cobre, 16 de hierro.
Mina A: X1
Mina B: X2
Mina C: X3
X1 + 2 X2 + X3 = 7
2X1 + 5 X2 +7 X3 = 18
X1 + 3 X2 + X3 = 16
X1= 2 , X2=
1 ,
X3= 3
5.- Una
industria productora de lingotes, tiene 3 lingotes que tiene una composición de
tres minerales como se muestra a continuación:
· El primero de 20 g de oro, 30 g
de plata y 40 g de cobre.
· El segundo de 30 g de oro, 40 g
de plata y 50 g de cobre.
· El tercero de 40 g de oro, 50 g
de plata y 90 g de cobre.
Esta
industria quiere fabricar un nuevo lingote con las siguientes especificaciones:
34 g de oro, 46
g de plata y 67 g de cobre, entonces que peso habrá de tomarse de cada uno de
los lingotes anteriores para.
Lingote
1=X1
Lingote 2=X2
Lingote 3=X3
30
40 50 46 30
40 50 46 R2-30*R1
40
50 90 67 40 50
90 67 R3-40*R2
0 -5
44 -5 R2 (-1/5) 0 1
-44/5 -5
0 -10
84 16 0 -10
84 16 R3+R2 (10)
0 1
-44/5 1
0 1 -44/5 1
0 0
-4 26 R3 (-1/4) 0
0 1 -13/2 R2+R3
(44/5)
0 1
0 -281/5 X2=-281/5 (-1)=281/5
0 0
1 -13/2 X3=-13/2(-1)= 13/2
TRABAJO EN EQUIPO.
INTEGRANTES:
Gómez
Díaz Angélica María
Mendoza
Bautista Celenne
López
López Jaqueline
